A prímszámok eloszlása

Euklidész "Elemek" címû mûvében bebizonyítja: "Végtelen sok prímszám létezik". érvelése máig is az elegáns bizonyítás mintapéldája. Mindannyian ismerjük az iskolából és még azok is megértették, akik számára a matematika egyébként szörnyûség volt.

Az említett eredmény másképpen is fogalmazható: A (x) prímszámfüggvény, amely az x-nél kisebb prímszámok számát adja meg, tart a végtelenhez, ha  x->. Gauss, akinek a matematika a tudományok királynôje, s a számelmélet a matematika királynôje volt, már 15 évesen azt sejtette, hogy a ((x)log x)/x hányados 1-hez tart, ha x® . De csak 1896-ban sikerült ezt a - prímszámtételként közismert - eredményt Hadamard-nak [4] és de la Vallée Poussin-nak [10] bebizonyítani. Az ígért hallhatatlanság nem jutott nekik osztályrészül, csak majdnem: Hadamard 98, de la Vallée Poussin 96 évig élt.

Kicsit leegyszerûsítve a prímszámtétel statisztikusan is interpretálható: Annak a valószínûsége, hogy egy x nagyságrendû természetes szám prím legyen, körülbelül 1/log x, azaz egy x körüli a hosszúságú intervallumban közelítôleg a/log x prímszám van.

(Ahhoz, hogy ez statisztikailag értelmes legyen, az a-nak elég nagynak, de x-hez képest elég kicsinynek kell lenni.) Az évtizedeken keresztül tartó ismételt próbálkozások, hogy a természetes számokra egy - ezeken a megfontolásokon alapuló - valószínûségelméletet dolgozzanak ki, sorra kudarcba fulladtak, mígnem röviddel ezelôtt a természetes számoknak a Stone-Cech kompaktifikációjukba történô beágyazása révén egy ilyen elmélet bizonyítást nyerhetett.

Térjünk most mégis vissza a fenti heurisztikus fejtegetésekhez. Ezek szerint annak a valószínûsége, hogy az x környezetében választott két szám mindegyike prím, Úgy 1/(log x)² körül van.Ikerprímekre, azaz olyan prímszám párokra vonatkoztatva, amelyek különbsége 2, ez azt jelenti, hogy az említett tulajdonságú intervallumban a/(log x)² ikerpím várható. (Igazából egy kicsit több, mert az a tény, hogy x prím, megváltoztatja annak a valószínûségét, hogy x+2 is prím legyen. Pl. x+2 biztosan páratlan.) Heurisztikus megfontolások az ikerprímek eloszlásával kapcsolatosan olyan formulákhoz vezetnek, amelyek meglepô módon megegyeznek a numerikus számításokkal. Meglepô ez azért, mert még az sem ismert, vajon létezik-e végtelen sok ikerprím. Ebben az összefüggésben hadd említsük meg, hogy nemrég Paderbornban Járai Antal professzorral együttmûködve sikerült a ma ismert legnagyobb ikerprím-párt megtalálni [5].