Wir befinden uns in der Situation, daß einem nicht korrekten, d.h. probabilistischen Beweis (= Test) mit einer sehr kleinen Fehlerwahrscheinlichkeit ein korrekter Beweis (= Test), bei dem die Wahrscheinlichkeit für einen Denk-, Programmier- oder Rechenfehler viel größer ist, gegenübersteht. Welchen "Beweis" sollen wir, wenn sich die Ergebnisse widersprechen, akzeptieren?

Lassen Sie mich die genannten Problematiken an einem Beispiel verdeutlichen. Betrachten wir die Zahl

N=[à 10⁴⁹⁹⁹] + 20535 = 314....

mit 5000 Dezimalstellen.

Mit dem Rabin-Test läßt sich in ca. 8 Stunden nachweisen (vgl. loc.cit.), daß es sich hierbei wahrscheinlich um eine Primzahl handelt, wobei die Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als 10^-140 ist.

Ein exakter Test mit "trial division" würde schätzungsweise mehr als 10²⁴⁸⁶ Jahre, der schnellste bisher bekannte exakte Primzahltest mehr als 5000 Jahre dauern, wobei beide Verfahren mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit behaftet wären, die um ein Vielfaches größer als 10^-140 ist.

Sollen wir also die Rabin´sche Aussage als Beweis dafür akzeptieren, daß N prim ist?

Erlauben Sie mir an dieser Stelle ein kurzes Abschweifen in die biologische Evolutionstheorie. Die Behauptung der Realität der Stammesgeschichte hat eine Fehlerwahrscheinlichkeit, die kleiner als 10^-135 ist.

Als Beleg dafür betrachten wir das Enzym Cytochrom c, das für die Sauerstoffübertragung im Zellinneren verantwortlich ist. Bei allen Lebewesen dieser Erde findet man dieses Enzym, ein aus 104 Aminosäuren zusammengesetztes Kettenmolekül. Da in der Natur nur 20 Aminosäuren vorkommen, ist die Hypothese, daß sich das erwähnte Enzym rein zufällig in allen bekannten Lebewesen gebildet hat, von einer Wahrscheinlichkeit 20^-104=(10^1,301..)^-104=10^-135 10^{-0,3 ...}, d.h. kleiner als 10^-135.

Die Evidenz der durch den Rabin-Test gewonnenen Aussage übertrifft damit bei weitem die Evidenz der Evolutionstheorie.

Sind Sie jetzt überzeugt, daß N eine Primzahl ist?
Wir werden die Wahrheit wohl nie erfahren.