Dieses Resultat läßt sich auch anders formulieren: Die Primzahlfunktion (x), die die Anzahl der Primzahlen kleiner als x angibt, strebt gegen Unendlich, falls dies auch für x gilt. Ein genaueres Verhalten der Funktion (x) lag lange Zeit im Dunkeln. Gauß vermutete bereits als Fünfzehnjähriger (1792), daß sich der Quotient (x) / (x/log x) dem Wert 1 beliebig nähert, wenn x gegen Unendlich strebt. Doch erst 1896 konnte dieses Ergebnis bewiesen werden. Dieser sogenannte Primzahlsatz läßt sich auch statistisch interpretieren: Die Wahrscheinlichkeit für eine natürliche Zahl der Größenordnung x, eine Primzahl zu sein, ist ungefähr 1/log x, d.h. in einem Intervall um x der Länge a liegen etwa a/log x Primzahlen. (Damit dies statistisch sinnvoll ist, sollte a genügend groß, aber klein im Vergleich zu x sein.) Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zwei zufällig (in der Umgebung von x) gewählte Zahlen beide Primzahlen sind, etwa 1/(log x)². Bezogen auf Primzahlzwillinge, d.h. Paare von Primzahlen, deren Differenz 2 ist, bedeutet dies, daß in Intervallen der genannten Art a/(log x)² Primzahlzwillinge zu erwarten sind. (In Wirklichkeit etwas mehr, da die Tatsache, daß n prim ist, die Wahrscheinlichkeit für n+2, prim zu sein, verändert (z.B. ist n+2 dann sicher ungerade).) Heuristische Überlegungen führen zur Formel

für die Anzahl der Primzahlzwillinge zwischen x und x+a. Numerische Rechnungen liefern überraschende Übereinstimmungen mit der Theorie, überraschend insbesondere für Primzahlzwillinge, da noch nicht einmal bekannt ist, ob unendlich viele Primzahlzwillinge existieren.

Primzahltest - Herausforderung für schnelles Rechnen

Die Primzahlen gehören trotz ihrer einfachen Definition zu den willkürlichsten und widerspenstigsten Objekten der Mathematik. Sie scheinen keinem anderen Gesetz als dem Zufall unterworfen, und es gibt keine Formel, aus der man ablesen kann, ob eine Zahl N einePrimzahl ist oder nicht. Gewiß, diese Entscheidung läßt sich herbeiführen, indem man N nacheinander versuchsweise durch jede Primzahl teilt, die kleiner als Wurzel aus N ist. Geht keine dieser Divisionen auf, ist N eine Primzahl. Der gravierendste Nachteil dieser Methode: Um mit ihr eine 100-stellige Zahl zu prüfen, braucht der schnellste, zur Zeit verfügbare Prozessor im ungünstigsten Fall mehr als 10³⁶ Jahre.