3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 3.1 EINFÜHRUNG

1. Motivation:

Ökonomie: Verflechtungsmodelle (r = V p)

komplexes Modell (y = (I − E)x) ⋮

2. Formen:

\begin{matrix}a_{11} x_{1} & + & ⋯ & + & a_{1n}x_{n} & = & y_{1} \\ ⋮ & & & & ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1}x_{1} & + & ⋯ & + & a_{mn}x_{n} & = & y_{m} \end{matrix} (1)

• bekannt:

\underbrace{( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} )}_{“Koeffizientenmatrix”} =: A

\underbrace{( y_{1} ; ⋮ ; y_{m} )}_{“rechte Seite”} =: y

• unbekannt:

( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) =: x

• Kurzform von (1):

Ax = y (1’)

⊳ (1) heißt lineares Gleichungssystem (in den Unbekannten x_{1}, …, x_{n}).

⊳ (1) heißt homogen, falls y = 0 ist, andernfalls inhomogen.

Ex. 1 \begin{matrix}p_{1} & + & p_{2} & = & 4 \\ p_{1} & + & 2p_{2} & = & 6 \end{matrix} (inhom. GLS)

Ex. 2 \begin{matrix}x & + & y & + & z & = & 0 \\ 2x & − & y & − & 3z & = & 0 \end{matrix} (hom. GLS)

Ex. 3 2 Schalke − 3 Hertha = 0

3. Fragen:

1. Was ist eine “Lösung”?

2. Wann existiert (mindestens) eine Lösung?

3. Wieviele Lösungen existieren?

(? Struktur der Lösungsmenge)

4. Praktische Lösung 4. Antworten zu 1:

⊳ Jeder Vektor x ∈ IR^{3}, der (1) erfüllt, heißt eine (spezielle) Lösung von (1).

⊳ Die Menge aller Lösungen von (1) werde mit IL bezeichnet:

IL := {x ∈ IR^{n} | Ax = y}