- Dietz - - WS 2002/2003 -

Übungsaufgaben zur “Stochastik für Informatiker” 3. Serie

1. Axiome

Es sei Ω ≠ ∅. Zeigen Sie: Ein Mengensystem A ⊂ P(Ω) ist genau dann eine Algebra, wenn gilt: (A”1) Ω ∈ A (A”2) A, B ∈ A ⇒ A \ B ∈ A (A”3) A, B ∈ A ⇒ A ∩ B ∈ A.

. (6 Punkte)

2. Nachweis Algebren

Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengensysteme A Algebren bzw. σ-Agebren in Ω = [0, ∞) sind:

(i) A = {A ⊂ Ω : eine der MengenA, Ā enthält keine Primzahl} (ii) A = {A ⊂ Ω : eine der MengenA, Ā ist endlich}. (Die leere Menge ist endlich!) (5 Punkte)

3. Axiomatik Xi

Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. a.) Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß A aber weder B noch C eintreten, ist

P (A) − P (A ∩ B ∩ C) P (A ∩ B ∩ C) − P (A ∪ B) − P (A ∪ C) + P (A) P (A) − P (A ∪ B ∪ C) P (A ∩ B ∩ C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) + P (A) Weiß nicht

b.) Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß entweder A oder B eintritt, ist

P (A) − P (A ∩ B) P (A) + P (B) − P (A ∩ B) P (A) + P (B) − 2P (A ∩ B) P (A) + P (B) − 3P (A ∩ B) Weiß nicht

(5 Punkte)

Abgabe: bis 18.11.02 16.00 Uhr Besprechung: ab 19.11.02