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Uni Paderborn, Fakultät EIM

– Dietz –

ECORSYS

Sommer 2004

SERIE 2.9

1. Definitheit neu

Vorbemerkung: In ECO RSYS-Serie 2.8 wurden die sog. “Hesse-Determinanten” H_{1}(M), …, H_{n}(M) einer symmetrischen (n, n)−Matrix M eingeführt. Mit ihrer Hilfe kann man M wie folgt auf Definitheit untersuchen:

Satz: (“Hesse-Determinanten-Satz”, kurz “HDS”) Es sei n ∈ IN und M eine symmetrische (n, n)−Matrix. Dann gilt:

(i) Die Matrix M ist genau dann positiv definit, wenn sämtliche ihrer Hesse-Determinanten positiv sind:

H_{1}(M) > 0, …, H_{n}(M) > 0.

(ii) Die Matrix M ist genau dann negativ definit, wenn sämtliche ihrer Hesse-Determinanten von Null verschieden sind und - mit H_{1}(M) < 0 beginnend - alternierende Vorzeichen besitzen:

H_{1}(M) < 0, H_{2}(M) > 0, H_{3}(M) < 0, …, H_{n}(M) \{ \begin{matrix}> 0 & n gerade \\ < 0 & n ungerade \end{matrix}

(iii) Wenn det M ≠ 0 gilt und keiner der beiden Fälle (i) oder (ii) vorliegt, ist M indefinit.

Bemerkung: Es gibt noch weitere als die unter (i)-(iii) genannten Möglichkeiten. Diese können mit dieser Methode allerdings nicht erkannt werden.

Beispiele:

1) n = 1, M = 5; hier gilt H_{1}(M) = H_{n}(M) > 0, also gilt M ≻ 0.

2) M = ( \begin{matrix}5 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} ).  Es gilt:  H_{1} = 5 H_{2} = 16 [figure: Vorzeichen:; +; +]

Aus dem HDS (i) folgt: M ≻ 0.

3) K = ( \begin{matrix}−5 & 3 \\ 3 & −5 \end{matrix} ).  Es gilt:  H_{1} = −5 H_{2} = 16 [figure: Vorzeichen:; −; +]

Aus HDS (ii) folgt: K ≺ 0.

4) C = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} ).  Es gilt:  H_{1} = 1 H_{2} = −3 [figure: Vorzeichen:; +; −]

Hier ist det C = H_{2}(C) ≠ 0, jedoch liegt weder die Situation von HDS (i) (Vorzeichenfolge _{+} _{+} ) noch die von HDS (ii) (Vorzeichenfolge _{−} _{+} ) vor. Nach Teil (iii) von HDS ist C indefinit: C ≍ 0.

5) D = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} ).  Es gilt:  H_{1} = 1 H_{2} = 0 [figure: Vorzeichen:; +; 0]

Es liegt keine der in HDS beschriebenen Situationen vor, damit läßt sich lediglich aussagen: D ⊁ 0, D ⊀ 0 .

Aufgabe: Untersuchen Sie die folgenden Matrizen auf Definitheit ! (Benutzen Sie, soweit möglich, die Methode der Hesse-Determinanten. In den übrigen Fällen sind die Eigenwerte zu ermitteln.)

A = ( \begin{matrix}108 & 21 \\ 21 & 1 \end{matrix} )

B = ( \begin{matrix}49 & −7 \\ −7 & 1 \end{matrix} )

C = ( \begin{matrix}−20 & −3 \\ −3 & −1 \end{matrix} )

D = ( \begin{matrix}−2 & 4 \\ 4 & −8 \end{matrix} )

E = ( \begin{matrix}108 & −9 \\ −9 & 1 \end{matrix} )

F = ( \begin{matrix}−5 & 0 & 1 \\ 0 & −3 & 2 \\ 1 & 2 & −7 \end{matrix} )

G = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 11 \end{matrix} )

H = ( \begin{matrix}1 & 5 \\ 5 & a \end{matrix} ) (in Abhängigkeit von der Wahl von a ∈ IR)

2. Stationäre Punkte und Monotonie

Durch den Ausdruck f(x, y) = ln(1 + x^{2} + y^{2}) soll eine Funktion f definiert werden.

(i) Bestimmen Sie den (größtmöglichen) Definitionsbereich D ⊂ IR^{2}. (ii) Stellen Sie fest, ob f stationäre Punkte besitzt und welcher Art diese sind. (iii) Geben Sie einen möglichst großen Teil D^{+} des Definitionsbereiches D derart an, daß gilt

f ist monoton wachsend auf D^{+}.

Hinweis: Multipliziert man eine \{ \begin{matrix}positiv \\ negativ \end{matrix} \} definite Matrix mit einem positiven Faktor, ist die Ergebnismatrix wiederum \{ \begin{matrix}positiv \\ negativ \end{matrix} \} definit.

Abgabe: bis 18.06.2004 13.00 Uhr Box 114, 117 (grün) auf D1-Flur Rückgabe: eine Woche später

in den Übungsgruppen