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Uni Paderborn, Fakultät EIM

– Dietz –

ECORSYS

Sommer 2004

SERIE 2.8

1. Vorbereitungs- und Wiederholungsaufgabe

Erinnerung an bekannte Begriffe:

1) Bekanntlich kann man die Determinante einer (n, n)−Matrix

A = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} )

im Fall n = 2 nach der “Kreuzregel” berechnen:

det A = a_{11}a_{22} − a_{21}a_{12} ;

im Fall n = 3 steht die Regel von Sarrus (“Jägerzaunregel”) zur Verfügung:

det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} − a_{31}a_{22}a_{13} − a_{32}a_{23}a_{11} − a_{33}a_{21}a_{12};

die Berechnung für jedes beliebige n kann mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes erfolgen (vgl. hierzu die Ausführungen im Teil Mathematik A). Beispiel zur “Jägerzaunregel”:

M = ( \begin{matrix}4 & 0 & 5 \\ 1 & 2 & −1 \\ 7 & 3 & 0 \end{matrix} ) “Jägerzaun”:

det M = 4 · 2 · 0 + 0 · (−1) · 7 + 5 · 1 · 3 − 7 · 2 · 5 − 3 · (−1) · 4 − 0 · 1 · 0 = −43

2) Jede Zahl λ mit det(A−λI) = 0 heißt ein Eigenwert von A (vgl. ECO RSYS-Blatt 2.7). Die linke Seite der Gleichung det(A − λI) = 0 ist ein Polynom n−ten Grades in der Unbekannten λ (welches auch als charakteristisches Polynom der Matrix A bezeichnet wird). Deswegen kann diese Gleichung bis zu n verschiedene Lösungen besitzen, eventuell aber auch unlösbar sein. Wenn jedoch A symmetrisch ist - d.h., wenn gilt A = A^{T} -, ist diese Gleichung immer lösbar.

Aufgabe 0: Man bestimme alle Eigenwerte folgender Matrizen:

A = ( \begin{matrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} )  B = ( \begin{matrix}2 & 3 \\ 3 & 6 \end{matrix} )  C = ( \begin{matrix}1 & −2 \\ −2 & 4 \end{matrix} )  D = 13

E = ( \begin{matrix}−2 & 3 \\ 3 & −6 \end{matrix} )  F = ( \begin{matrix}−1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix} )  G = ( \begin{matrix}2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} )

Neue Begriffe I: Eine symmetrische (n, n)−Matrix A heißt

a) positiv definit  (symbolisch: A ≻ 0)
b) positiv semidefinit (symbolisch: A ≽ 0)
c) negativ semidefinit (symbolisch: A ≼ 0)
d) negativ definit  (symbolisch: A ≺ 0)
e) indefinit  (symbolisch: A ≍ 0) ,

wenn

a) alle Eigenwerte positiv
b) alle Eigenwerte nichtnegativ
c) alle Eigenwerte nichtpositiv
d) alle Eigenwerte negativ sind bzw.
e) mindestens ein Eigenwert positiv und mindestens ein Eigenwert negativ sind.

Aufgabe I:

1) Stellen Sie für jede der Matrizen A bis G fest, über welche der Eigenschaften a) bis e) sie verfügt.

2) Welche Bedeutung haben die Eigenschaften a) bis d) im Fall n = 1?

Neue Begriffe II:

Für eine (n, n)−Matrix A = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) bilden wir die folgenden Determinanten:

H_{1}(A) = a_{11} (= det a_{11})
H_{2}(A) = det ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} )

H_{3}(A) = det ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} )

⋮

H_{n}(A) = det ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} )

Diese werden wir im weiteren als “Hesse-Determinanten” bezeichnen.

Aufgabe II: Bilden Sie für jede der Matrizen A bis G die Hesse-Determinanten H_{1}, H_{2} und H_{3} (jeweils soweit sinnvoll). Notieren Sie die Folge der auftretenden Vorzeichen (z.B. “+, −”) und vergleichen Sie diese mit dem Ergebnis der Teilaufgabe I. Was fällt Ihnen auf?

2. Gradient und Monotonieatlas

Auf der Menge D := IR^{2} werde die Funktion f betrachtet:

f(x, y) = 2x^{2} + 2xy + 4y^{2} + 8x + 16y , (x, y) ∈ IR^{2} .

(i) Skizzieren Sie diejenige Teilmenge D^{+} von D, auf der der Gradient von f nichtnegativ ist,

d.h.

D^{+} := { f′ ⩾ 0 } = { (x, y) ∈ D | f′(x, y) ⩾ 0 } .

Kennzeichnen Sie in der Skizze, ob etwaige Randpunkte von D^{+} zu D^{+} gehören und ermitteln Sie die Koordinaten mindestens dreier Randpunkte rechnerisch.

(ii) Bestimmen Sie alle Eigenwerte der Hesse-Matrix H = f′′ von f.

Hinweis: Diese Aufgabe kann mit den Methoden aus “Mathe A” sehr leicht gelöst werden.

Abgabe: bis 11.06.2004 13.00 Uhr Box 114, 117 (grün) auf D1-Flur Rückgabe: eine Woche später

in den Übungsgruppen