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Uni Paderborn, Fakultät EIM

– Dietz –

ECORSYS

Sommer 2004

SERIE 2.7

1. Polynomiale Produktionsfunktion

Auf D := IR^{2} werde die Funktion f mit

f(x, y) = (y + 1)^{4} + x^{3} − (x − \frac{1}{6})^{2} − \frac{35}{36}

betrachtet.

(i) Begründen Sie, weshalb f auf dem (verkleinerten) Definitionsbereich D_{oec} := [ 0, ∞) × [ 0, ∞) als Modell für eine Produktionsfunktion dienen kann.

(ii) Ausgehend vom Punkt \underline{x}^{0} = ( x^{0}, y^{0} ) = ( 2, 2 ) werde ein Vertikalschnitt in Richtung \underline{r} = ( 2, 3 ) geführt. Welchen Anstieg hat die Tangente an diesem Schnitt im Punkt ( \underline{x}^{0}, f(\underline{x}^{0}) )?

(iii) Welche ökonomische Interpretation hat der unter (ii) ermittelte Anstieg?

(iv) Bestimmen Sie die Grenzrate der Substitution im Punkt \underline{x}^{0}.

(v) Angenommen, der Einsatz des ersten Produktionsfaktors werde von 2 auf 2, 01 Einheiten gesteigert. Wieviele Einheiten des zweiten Produktionsfaktors (statt bisher 2) werden bei konstantem Output benötigt? (Geben Sie diesen Wert näherungsweise an!)

2. Elementares Maximumproblem

Auf D = IR^{2} werde die Funktion f mit

f(\underline{x}) = f(x, y) = 500 − 5(x − 3)^{2} − 6xy − 2(y − 4)^{2}

betrachtet.

(i) Man bestimme ∇f = grad f (als Funktion von \underline{x} = (x, y)).

(ii) Man bestimme alle Punkte \underline{x}^{∗} = (x^{∗}, y^{∗}) ∈ D, für die gilt ∇f(\underline{x}^{∗}) = 0.

Bemerkung: Ein solcher Punkt heißt “stationärer Punkt” von f. Hinweis:

– Die o.g. Funktion f besitzt genau einen stationären Punkt.

– Um diese zu finden: Gradient gleich Nullvektor setzen, Koordinaten errechnen.

– Dabei ist ein (einfaches) lineares Gleichungssystem zu lösen.

(iii) Man berechne die Hesse – Matrix H = ∇^{2}f.

Anmerkung: H hängt nicht von \underline{x} = (x, y) ab.

(iv) Eine reelle Zahl λ heißt Eigenwert von H, wenn gilt det(H − λ · I) = 0. H besitzt zwei Eigenwerte. Berechnen Sie diese!

(v) Erarbeiten Sie eine Vermutung: f besitzt im o.g. Punkt \underline{x}^{∗} ein Maximum/Minimum/weder – noch ... Tip: Betrachten Sie die Vertikalschnitte x = x^{∗} und y = y^{∗}, wobei x^{∗} und y^{∗} die Koordinaten des stationären Punktes aus Teilaufgabe (ii) sind.

b.w.

3. Monotonie und Gradient

Auf dem Definitionsbereich D = ( 0, ∞) × IR werde die Funktion φ mit φ(x, y) = x^{y} betrachtet. Geben Sie möglichst große Teilmengen D^{+} und D^{−} von D derart an, daß φ auf D^{+} monoton wachsend und auf D^{−} monoton fallend ist. (Skizze!) Hinweis: Untersuchen Sie den Gradienten von φ.

Abgabe: bis 04.06.2004 13.00 Uhr Box 114, 117 (grün) auf D1-Flur Rückgabe: eine Woche später

in den Übungsgruppen