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Uni Paderborn, Fakultät EIM

– Dietz –

ECORSYS

Sommer 2004

SERIE 2.6

1. Wiederholungsaufgabe Ungleichungen

Vorbemerkung: GRUNDEIGENSCHAFTEN VON UNGLEICHUNGEN: Für alle x, y, z ∈ IR gilt

(R) x ⩽ y  “Reflexivität”
(A) x ⩽ y ∧ y ⩽ x ⇒ x = y  “Antisymmetrie”
(T) x ⩽ y ∧ y ⩽ z ⇒ x ⩽ z  “Transitivität”

AUSGEWÄHLTE RECHENREGELN:

(1) x ⩽ y  ⇔ x + a ⩽ y + a  “Additionsregel”
(2) x ⩽ y  ⇔ \{ \begin{matrix}λx ⩽ λy & für λ > 0 \\ λx ⩾ λy & für λ < 0 \end{matrix}  “Vervielfachungssregel”
(3) 0 < x ⩽ y ⇔ 0 < \frac{1}{y} ⩽ \frac{1}{x}  “Reziprozitätsregel”

(1)-(3) bleiben richtig, wenn überall “⩽” durch “<” ersetzt wird.

DIE BETRAGSFUNKTION:

\underline{Definition:} | x | := \{ \begin{matrix}x & falls x ⩾ 0 gilt \\ −x & falls x < 0 gilt \end{matrix} (x ∈ IR)

Grundeigenschaften:

(N1) | x |  ⩾ 0  für alle x und: | x | = 0 ⇔ x = 0  “Positivität”
(N2) | λx | = | λ | | x |  (λ, x ∈ IR)  “Homogenität”
(N3) | x + y | ⩽ | x | + | y |  (x, y ∈ IR)  “Dreiecksungleichung”

(Dies sind die Eigenschaften einer “Norm”, wie sie auch die im IR^{n} bekannte “Norm” besitzt.)

Aufgabe:

(1) Interpretieren Sie die Rechenregeln (1)-(3) verbal und versuchen Sie, für jede ein Anwendungsbeispiel zu finden.

(2) Bestimmen Sie die Lösungsmenge von x^{2} − x − 6 ⩽ 0 .

(3) Zeigen Sie unter Verwendung der Rechenregeln (1)-(3), daß gilt (“Addition von Ungleich-

ungen”)

u ⩽ v und w ⩽ x ⇒ u + w ⩽ v + x (u, v, w, x ∈ IR) .

(4) Lösen Sie die folgende Ungleichung nach y auf und skizzieren Sie die Lösungsmenge im IR^{2}:

(x − 1) y^{2} ⩽ 1 .

(5) Dasselbe für | x − 1 | y^{2} ⩽ 1 .

(6) Dasselbe für | | x | + 1 | ⩽ | | y | − 1 |.

b.w.

2. Totales Differential

Für die Funktion

f(x, y) = 1 − e^{−(x^{2}+y^{2})}

bestimme man das totale Differential

(i) allgemein

(ii) an der Stelle (x_{0}, y_{0}) = (1.5, 2).

(iii) Welche Interpretation hat der zuletzt berechnete Wert?

(iv) In welcher Richtung steigt - ausgehend vom Punkt (x_{0}, y_{0}) - die Funktion f am stärksten an?

(v) Wie groß ist dieser Anstieg?

3. Produktionsfunktion

Gegeben sei die Produktionsfunktion

p = x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{2}} (x, y ≥ 0),

wobei p den Output und x, y die Faktoreinsatzmengen zweier Produktionsfaktoren X, Y bezeichnen. Der gegenwärtige Faktoreinsatz beträgt x_{0} = 64, y_{0} = 50 ([ME]).

(i) Um wieviel ME wird sich der Output näherungsweise erhöhen, wenn 64, 4 ME des Faktors X und 50, 2 ME des Faktors Y statt der bisherigen Mengen eingesetzt werden?

(ii) In welchem Verhältnis müßte man die Faktoreinsätze erhöhen, um bereits bei geringfügiger Erhöhung einen maximalen Zuwachs des Outputs zu erreichen?

(iii) Wie hoch ist die maximale Zuwachsrate des Outputs an der Stelle x_{0} = 64, y_{0} = 50?

Abgabe: bis 28.05.2004 13.00 Uhr Box 114, 117 (grün) auf D1-Flur Rückgabe: eine Woche später

in den Übungsgruppen