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Uni Paderborn, Fakultät EIM

– Dietz –

ECORSYS

Sommer 2004

SERIE 2.5

1. Wiederholungsaufgabe Ableitungsregeln

Vorbemerkung: Zum Handwerkszeug der Differentialrechnung gehören einige Grundableitungen und Ableitungsregeln wie folgt:

Tabelle der wichtigsten GRUNDABLEITUNGEN

f(x)  f′(x)  Anmerkungen
Potenzfunktionen:  x^{p}  px^{p−1}  DB beachten!
Exponentialfunktion:  e^{x}  e^{x}  x ∈ IR
Logarithmusfunktion:  ln x  \frac{1}{x}  x > 0
Winkelfunktionen:  sin x  cos x  x ∈ IR
cos x  − sin x  x ∈ IR

Tabelle der wichtigsten ABLEITUNGSREGELN

1 (f + g)′  =  f′ + g′  “Additivität”
2  (λf)′  =  λf′ (λ ∈ IR)  “Homogenität” } “Linearität”
3 (f · g)′  =  f′g + fg′  “Produktregel”
4 (f ∘ g)′  =  (f′ ∘ g) · g′  “Kettenregel”, ausführlich
(f(g(x)))′  =  f′(g(x)) · g′(x)
5 (\frac{f}{g} )′  =  \frac{f′g − fg′}{g^{2}}  “Quotientenregel”

Aufgabe:

(0) Lernen Sie diese Grundableitungen und Ableitungsregeln auswendig! (Keine Punktwertung)

(i) Bestimmen Sie die Ableitung von h mit

h(x) = 13\sqrt[5]{x} + x ln x^{2} + \frac{e^{x}}{x} .

Erläutern Sie bei jeder Umformung, welche Ableitungsregeln bzw. Grundableitungen Sie benutzt haben.

(ii) Leiten Sie die Funktion h mit h(x) = e^{2x} a) mit Hilfe der Produktregel

b) mit Hilfe der Kettenregel ab. Machen Sie in jedem Fall kenntlich, wie die Funktionen f, g in der Produkt- bzw. Kettenregel zu definieren sind.

(iii) Leiten Sie die Quotientenregel aus der Produkt- und der Kettenregel her! (iv) Leiten Sie aus der “gewöhnlichen” Produktregel (für 2 Faktoren) die folgende Produktregel

für 3 Faktoren her!

(uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′

(v) Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktion f:

a) f(x) = \frac{x^{2} − ln x}{x}

b) f(x) = \frac{sin x}{cos x}

c) f(x) = x^{2}(sin 3x)e^{−x}

2. Tangentialebene II

Gegeben sei die Funktion

f(x, y) = xy + e^{−x^{2}+xy} , (x, y) ∈ IR^{2}

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an Graph(f) im Punkt (1, 1).

3. Partielle Ableitungen (Gradient und Hesse-Matrix)

Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung folgender Funktionen:

(i) f(x_{1}, x_{2}) = 24x_{1}^{2} − 8x_{1}x_{2} + 5x_{2}^{2} (ii) g(x, y) = e^{2x^{2}−xy+y^{2}} (iii) h(α, β, γ) = αβγ − α^{2} + β^{2} ln γ (γ > 0). (Geben Sie diese in Form des Gradienten bzw. der Hesse-Matrix an.) Kann man die Funktion f mit Hilfe von Gradient und/oder Hesse-Matrix vektoriell ausdrücken?

Abgabe: bis 21.05.2004 13.00 Uhr Box 114, 117 (grün) auf D1-Flur Rückgabe: eine Woche später

in den Übungsgruppen