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Uni Paderborn, Fakultät EIM

– Dietz –

ECORSYS

Sommer 2004

SERIE 2.4

1. Grenzproduktivität

Die Produktionsfunktion eines Gutes x ist gegeben durch

x = f(r_{1}, r_{2}) = 13r_{1}^{2} − 3r_{1} + 5r_{1}r_{2} − 4r_{2}^{2} + 7r_{2} .

• Bestimmen Sie die Grenzproduktivität bezüglich des Produktionsfaktors r_{1} und des Produktionsfaktors r_{2} .

• Bestimmen und interpretieren Sie die Grenzproduktivitäten für r_{1} = 6 und r_{2} = 4 .

2. Partielle Ableitungen erster Ordnung

Drei Funktionen sollen durch die nachfolgenden Terme überall dort definiert werden, wo diese sinnvoll sind.

1) f(x, y) = ln(e^{x} − e^{−y})

2) g(x, y, z) = \frac{z · sin(xy)}{x + yz}

3) h(x, y) = \frac{x^{3}y^{5} − 7x}{\sqrt{6x + 4y}}

(a) Bestimmen Sie die jeweiligen Definitionsbereiche.

(b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung.

(c) Bestimmen Sie die jeweiligen Definitionsbereiche der partiellen Ableitungen.

3. Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Durch die unter i) - iv) angegebenen Ausdrücke sollen Funktionen überall dort definiert werden, wo diese sinnvoll sind.

i) u(x, y) = 9x^{8}y^{3} − 3x^{3}y^{6}

ii) v(x, y) = 12y^{2}e^{3x^{2}}

iii) k(x, y) = (x^{2} + y^{2}) e^{xy}

iv) m(x, y) = \sqrt{1 − x^{2}y}

(a) Bestimmen Sie die jeweiligen Definitionsbereiche.

(b) Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung. Geben Sie auch die Definitionsbereiche der Ableitungen an !

b.w.

4. Wiederholungsaufgabe Kettenregel

Vorbemerkung: Die Kettenregel der Differentialrechnung (für Funktionen einer Veränderlichen) lautet in “abstrakter” Form

(f( g(x) ))′ = f′(g(x)) · g′(x).

Man kann sie z.B. wie folgt anwenden, um die Funktion h mit

h(x) = e^{\sqrt{x}}

an einer Stelle x > 0 abzuleiten:

1. Man wählt einen Kandidaten für die Rolle der “äußeren Funktion” f; hier z.B.

f(g) := e^{g} .

2. Dann ergibt sich als “innere Funktion”

g(x) := \sqrt{x}.

(Man vergewissere sich, daß alles stimmt:

h(x) = f(g(x)) ).

3. Man bestimmt die Ableitungen von äußerer und innerer Funktion:

\begin{aligned}f′(g) & = & (e^{g})′ & = & e^{g} , & g ∈ IR \\ g′(x) & = & (\sqrt{x})′ & = & \frac{1}{2\sqrt{x}} , & x > 0. \end{aligned}

4. Nun folgt nach Kettenregel

\begin{aligned}h′(x) & = & f′(g(x)) & · & g′(x) \\ & = & e^{g(x)} & · & g′(x), & also \\ (e^{\sqrt{x}})′ & = & e^{\sqrt{x}} & · & \frac{1}{2\sqrt{x}} . \end{aligned}

Aufgabe:

(i) Man bestimme die Ableitung der Funktion h mit

h(x) = ln (5x^{3} + 2x^{2} + x + 1) (x > 0)

mit Hilfe der Kettenregel nach dem vorangehenden Muster, etwa wie folgt:

1. “Äußere Funktion” f:

f(g) := ...

2. “Innere Funktion” g:

g(x) := ...

3. Ableitungen: f′(g) = ... g′(x) = ...

4. Berechnung nach Kettenregel: h′(x) = ...

(ii) Dasselbe für die Funktion h mit

h(x) = \frac{1}{1 + e^{−x^{2}}} (x ∈ IR).

(iii) Begründen Sie mit Hilfe der “einfachen” Kettenregel nach dem vorangehenden Muster, warum die “mehrfache” Kettenregel

(f(g(h(x))))′ = f′(g(h(x))) · g′(h(x)) · h′(x)

gilt.

(iv) Leiten Sie durch mehrfache Anwendung der Kettenregel ab:

a) sin (1 + 4 · ln (1 + \sqrt{1 + e^{x}}))

b) (1 + sin (1 + x^{3}))^{5}

Abgabe: bis 14.05.2004 13.00 Uhr Box 114, 117 (grün) auf D1-Flur Rückgabe: eine Woche später

in den Übungsgruppen