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Uni Paderborn, Fakultät EIM

– Dietz –

ECORSYS

Sommer 2004

SERIE 2.14

1. Haushaltsnutzen

Ein Haushalt, der zwei Güter X und Y zu den Preisen p > 0 und q > 0 erwerben kann, bewertet den subjektiven Nutzen beim Erwerb des Güterbündels (x, y) durch den Nutzenindex

U(x, y) = \sqrt{xy + 3x} , x, y ⩾ 0 .

Das Budget des Haushaltes betrage B Geldeinheiten und sei größer als 3q.

(a) Ermitteln Sie die Nachfragen x = x(B, p, q) und y = y(B, p, q) des Haushaltes an den Gütern X bzw. Y als Funktionen der Einflußgrößen B, p und q. (Lösungshinweis unten beachten!)

(b) Wie hoch ist der größtmögliche Nutzen U_{max} = U_{max}(B, p, q) des Haushaltes?

(c) Wie wirkt sich eine Erhöhung des Preises p für das Gut X auf die Nachfrage y an Gut Y aus?

(d) Läßt sich der Haushaltsnutzen (bei konstanten Preisen p und q ) durch eine Verdoppelung des Budgets verdoppeln?

(e) Was geschieht mit Nachfragen und Maximalnutzen, wenn alle Preise und das Budget gleichzeitig verdoppelt werden?

Lösungshinweis: Wer die Aufgabe nur mit konkreten Zahlenwerten statt mit den Variablen B, p, q lösen kann, verwende durchweg die Zahlenwerte B = 108, p = 3 und q = 12.

2. Homogene Funktionen

Stellen Sie fest, welche der nachfolgenden Funktionen homogen sind, und ermitteln Sie ggf. deren Homogenitätsgrad:

1) f(x, y) = x^{2} + xy + y^{2}  (x, y) ∈ IR^{2}
2) g(x, y) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}  (x ≠ 0, y ≠ 0)
3) h(x, y) = \sqrt{x + \sqrt{y}}  (x, y ⩾ 0)
4) j(x, y) = (α\sqrt{x} + β\sqrt{y})^{m/2} (x, y > 0) mit Parametern m ∈ IR, α ⩾ 0, β ⩾ 0, α + β = 1
5) k(x, y) = x + |y|  (x, y ∈ IR)
6) l(x, y) = ln(1 + x^{2} + y^{2})  (x, y ∈ IR).

b.w.

3. Komplexe Aufgabe

Gegeben sei die Funktion f auf D := [0, ∞) × [0, ∞) durch

f(x, y) = 2x^{2} + 3y + xy^{2} .

(i) Stellen Sie fest, ob f als Modell für eine - (Gesamt-)Kostenfunktion

- Produktionsfunktion

- Nutzenfunktion dienen kann. (Legen Sie dazu zunächst selbst Kriterien fest, denen die o.g. Funktionen genügen sollen, und überprüfen Sie, ob f diesen Kriterien genügt.)

(ii) Ist f auf D oder einer konvexen Teilmenge D̃ von D konvex? (Wenn ja, bestimmen Sie die

größtmögliche Menge D̃ .) (iii) Ermitteln Sie die Ableitung der durch die Gleichung

f(x, ϕ(x)) = f(1, 6)

implizit gegebenen Funktion ϕ(x) an der Stelle x = 1 . (Implizite Differentiation)

(iv) Welche Höhenlinie von f enthält den Punkt (1, 6) ?

(v) Wählt man die Inputgrößen x und y in Abhängigkeit von einem Parameter t gemäß

x(t) = \sqrt{t}
y(t) = ln (1 + t) ,

entsteht eine neue Funktion g durch

g(t) := f(x(t), y(t)) , t ≥ 0 .

Bestimmen Sie deren Ableitung g′(t) mit Hilfe der Kettenregel. (vi) Bestimmen Sie die partiellen Elastizitäten ε_{f,y} von f bezüglich y allgemein (d.h., als Funk-

tion von x und y) und speziell an der Stelle (x, y) = (1, 6). Welche Interpretation hat der zuletzt gefundene Wert?

(vii) Ist f homogen (und falls ja, von welchem Grad)? (Begründung!)

4. Elastizitäten

Teil A

Die Nachfrage nach einem Gut X werde als Funktion des Preises durch

x(p) = \frac{1}{1 + p^{2}} , p ⩾ 0 ,

beschrieben.

(i) Geben Sie die Elastizität ε_{x}(p) der Nachfrage bezüglich des Preises p als Funktion von p an:

ε_{x}(p) =

(ii) Bei welchem Preis p_{0} reagiert die Nachfrage proportional-elastisch?

p_{0} = (iii) Wie lautet die Elastizität ε_{U} der durch U(p) = p x(p), p ⩾ 0, definierten Umsatzfunktion

bezüglich des Preises?

ε_{U}(p) =

(iv) Welchen Zahlenwert hat ε_{U}(p) an der Stelle p = 1, und wie ist dieser zu interpretieren?

ε_{U}(1) =

Interpretation: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teil B

Wir betrachten die durch

x(B, p, q) := \frac{B − 3p + 5q}{2p}

auf D = ( 0, ∞)^{3} definierte Funktion.

(i) Ist x (als Funktion aller drei Variablen B, p, q) homogen? Wenn ja, von welchem Grad?

x ist nicht homogen

x ist homogen, und zwar vom Grad

? weiß nicht

(ii) Bestimmen Sie die partiellen Elastizitäten von x bezüglich B, p und q (als Funktion aller drei Variablen).

\begin{aligned}ε_{x,B}(B, p, q) & = \\ ε_{x,p}(B, p, q) & = \\ ε_{x,q}(B, p, q) & = \end{aligned}

(iii) Ergänzen Sie: Es gilt ε_{x,B} + ε_{x,p} + ε_{x,q} = 0 aufgrund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Nebenrechnungen beifügen!

Abgabe: bis 23.07.2004 13.00 Uhr Box 114, 117 (grün) auf D1-Flur Rückgabe: eine Woche später

in den Übungsgruppen