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Uni Paderborn, Fakultät EIM

– Dietz –

ECORSYS

Sommer 2004

SERIE 2.13

1. Kostenminimale Produktion I

Ein Unternehmen produziert ein Gut G aus zwei Rohstoffen X und Y. Werden davon die Mengen x bzw. y eingesetzt, beträgt der Output

g(x, y) = \sqrt{x + \sqrt{y}} [ME].

Dabei entstehen Kosten in Gesamthöhe von

K(x, y) = 18x + 3y + 30 [GE].

(i) Ermitteln Sie einen Produktionsplan (x^{∗}, y^{∗}), mit dem ein Output von 5 ME G zu minimalen Kosten erzeugt wird.

(ii) Wie hoch sind die entstehenden Minimalkosten K^{∗} = K(x^{∗}, y^{∗})?

(Benutzen Sie die Methode des Lagrangeschen Multiplikators.)

2. Kostenminimale CD-Produktion

Ein Unternehmen stellt aus zwei Produktionsfaktoren X und Y ein Gut Z her. Die Produktionsfunktion lautet

z = a\sqrt{xy}.

Die Preise p > 0 und q > 0 der Faktoren X bzw. Y seien fest vorgegeben.

(1) Welche Mengen x^{∗} und y^{∗} der Faktoren X bzw. Y sind einzusetzen, um damit C ME des Gutes Z zu minimalen Kosten K_{min} herzustellen?

(2) Wie hoch sind diese minimalen Kosten K_{min} ?

Lösen Sie das Problem mit der Lagrange-Methode. Bestimmen Sie dabei auch den zu (x^{∗}, y^{∗}) gehörenden Lagrange-Multiplikator λ^{∗}. Beurteilen Sie eventuelle Lagrangepunkte aus ökonomischer Sicht (d.h., ohne Verwendung von Hesse-Determinante(n)). Gehen Sie anschließend auf folgende Fragen ein:

(3) Die minimalen Kosten K_{min} hängen von der Konstanten C ab: K_{min} = K_{min}(C). Bilden

Sie die Ableitung \frac{d}{dC} K_{min}(C).

(4) Gibt es einen Zusammenhang zum Lagrange-Multiplikator λ^{∗} ? Wenn ja, welchen? Interpretieren Sie Ihr Ergebnis!

Abgabe: bis 16.07.2004 13.00 Uhr Box 114, 117 (grün) auf D1-Flur Rückgabe: eine Woche später

in den Übungsgruppen