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Uni Paderborn, Fakultät EIM

– Dietz –

ECORSYS

Sommer 2004

SERIE 2.12

1. Numerus Clausus

Das Unternehmen “Numerus” erzielt bei der Ausbringung von x bzw. y Mengeneinheiten (ME) zweier Güter X bzw. Y einen Gewinn in Höhe von

G(x, y) = 5xy + x + 17y − \frac{x^{4}}{12} − \frac{y^{4}}{12} − \frac{10x^{2}}{3} − 3y^{2} − \frac{7}{12}

Geldeinheiten (GE). Es können - unabhängig voneinander - bis zu 26 ME des Gutes X und bis zu 38 ME des Gutes Y hergestellt werden. Um ein Gutachten gebeten, teilt die Unternehmensberatung “Clausus” mit, der höchstmögliche Gewinn sei mit dem Produktionsplan (x^{∗}, y^{∗}) = (2, 3)

- und nur mit diesem - zu erzielen. Allerdings fehlen Hinweise auf den Maximalgewinn und das angewendete Berechnungsverfahren.

Die Geschäftsleitung von “Numerus” wendet sich daher an Sie als Hörer von “Mathematik B für Wirtschaftswissenschaftler” mit der Bitte um eine unabhängige gutachterliche Prüfung des Ergebnisses von “Clausus”.

In ihrem Gutachten sind folgende Fragen zu beantworten:

1. Ist der Produktionsplan (x^{∗}, y^{∗}) = (2, 3) tatsächlich gewinnoptimal?

2. Gibt es weitere gewinnoptimale Produktionspläne?

3. Wie groß ist der größtmögliche Gewinn G_{max}?

4. Fügen Sie Ihrem Gutachten die notwendigen Rechnungen bei und erläutern Sie ihre Vorgehensweise, insbesondere: Welche Bedingung(en) ist(sind) für die (globale) Gewinnoptimalität des Punktes (x^{∗}, y^{∗}) = (2, 3)

a) notwendig?

b) hinlänglich?

Sind diese Bedingungen erfüllt?

b.w.

2. Vorbereitungsaufgabe “Elastizitäten”

Es sei f : D → IR , D ⊂ IR, eine differenzierbare Funktion. Der Ausdruck

ε_{f}(x) := \frac{xf′(x)}{f(x)}, soweit definiert,

heißt “Elastizität von f an der Stelle x” (x ∈ D). Berechnen Sie diese als Funktion von x für:

\begin{aligned}(a) & f(x) & = & 10 − 2(x − 5)^{2} & D = IR \\ (b) & g(x) & = & 3\sqrt{x} & D = [ 0, ∞) \\ (c) & h(x) & = & 5e^{2x} & D = IR \\ (d) & j(x) & = & ln (1 + x) & D = ( −1, ∞) \\ (e) & k(x) & = & \sqrt{1 + x^{2}} & D = IR \end{aligned}

Bestimmen Sie dabei jeweils auch die Definitionsbereiche von ε und (außer im Fall (a) und (d)) diejenigen Teilmengen von D_{ε}, auf denen | ε(x) | > 1, | ε(x) | = 1 bzw. | ε(x) | < 1 gilt.

Abgabe: bis 09.07.2004 13.00 Uhr Box 114, 117 (grün) auf D1-Flur Rückgabe: eine Woche später

in den Übungsgruppen