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Uni Paderborn, Fakultät EIM

– Dietz –

ECORSYS

Sommer 2004

SERIE 2.10

1. Ankreuzen Definitheit und stat. Punkte

Eine Funktion f : IR^{2} → IR besitze genau einen stationären Punkt mit zugehöriger Hesse – Matrix H. Entscheiden Sie in den nachfolgenden Beispielen -soweit möglich- über die Definitheit von H und die Art des stationären Punktes. (Alle zutreffenden Felder ankreuzen!)

H  Definitheit:  Art des stat. Punktes  Punkte
( \begin{matrix}−2 & −1 \\ −1 & −3 \end{matrix} )  ≺ 0 ⪯ 0 = 0 ⪰ 0 ≻ 0 ⋏0 ? SP MAX MIN k.B. ? \frac{1}{2}  \frac{1}{2}
( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} )  ≺ 0 ⪯ 0 = 0 ⪰ 0 ≻ 0 ⋏0 ? SP MAX MIN k.B. ? \frac{1}{2}  \frac{1}{2}
( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )  ≺ 0 ⪯ 0 = 0 ⪰ 0 ≻ 0 ⋏0 ? SP MAX MIN k.B. ? \frac{1}{2}  \frac{1}{2}
( \begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} )  ≺ 0 ⪯ 0 = 0 ⪰ 0 ≻ 0 ⋏0 ? SP MAX MIN k.B. ? \frac{1}{2}  \frac{1}{2}
( \begin{matrix}5 & 6 \\ 6 & 6 \end{matrix} )  ≺ 0 ⪯ 0 = 0 ⪰ 0 ≻ 0 ⋏0 ? SP MAX MIN k.B. ? \frac{1}{2}  \frac{1}{2}
( \begin{matrix}5 & 6 \\ 10 & 12 \end{matrix} )  ≺ 0 ⪯ 0 = 0 ⪰ 0 ≻ 0 ⋏0 ? SP MAX MIN k.B. ? \frac{1}{2}  \frac{1}{2}
( \begin{matrix}0 & −1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )  ≺ 0 ⪯ 0 = 0 ⪰ 0 ≻ 0 ⋏0 ? SP MAX MIN k.B. ? \frac{1}{2}  \frac{1}{2}

( \begin{matrix}2 & 1 & −1 \\ 1 & 3 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix} ) ≺ 0 ⪯ 0 = 0 ⪰ 0 ≻ 0 ⋏0 ? SP MAX MIN k.B. ? 2 1

Legende:

\begin{matrix}≻ & positiv \\ ≺ & negativ \end{matrix} \} definit

\begin{matrix}⪰ & positiv \\ ⪯ & negativ \end{matrix} \} semidefinit

= sowohl ⪰ als auch ⪯
⋏ indefinit

SP (verallg.) Sattelpunkt

MAX (lokaler) Maximumpunkt

MIN (lokaler) Minimumpunkt

k.B. keine Beurteilung möglich ohne Zusatz – Info

? weiß nicht

Hinweis zur Bewertung:

• Eine richtige Antwort ergibt die angegebene Punktzahl.

• Eine falsche Antwort ergibt entsprechend viele Minuspunkte.

• “gar nichts ankreuzen” ergibt ebenfalls Minuspunkte.

• “weiß nicht” ergibt jeweils 0 Punkte. Daher: Im Zweifelsfall “weiß nicht” ankreuzen.

AUSSERDEM: NEBENRECHNUNGEN BITTE AUF GESONDERTEM BLATT BEIFÜGEN!

b.w.

2. Lokales Maximum und Minimum

Wir betrachten die durch

f(x, y) = 4x^{4} − 8xy + \frac{2}{27}y^{2} für (x, y) ∈ IR^{2}

definierte Funktion f.

(a) Berechnen Sie den Gradienten ∇f = (f_{x}, f_{y}) und die Hesse-Matrix

H := ∇^{2}f = ( \begin{matrix}f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{matrix} ) von f.

(b) Berechnen Sie alle stationären Punkte von f und klassifizieren Sie diese dahingehend, ob ein lokaler Minimum- bzw. Maximumpunkt oder ein (verallgemeinerter) Sattelpunkt vorliegt oder evtl. anhand der Hesse-Matrix allein eine Beurteilung nicht möglich ist.

(c) Ist f auf einem Teil des Definitionsbereiches konkav/konvex? Wenn ja, auf welchem?

3. Lokale Extrema ankreuzen I

Auf IR^{2} werde die Funktion f

f(x, y) = x^{4} − 4x^{2}y^{2} + xy^{2}

betrachtet. Diese besitzt (0, 0) als stationären Punkt. Stellen Sie fest, ob weitere stationäre Punkte existieren, und klassifizieren Sie diese mit Hilfe der Hesse – Matrix bzw. durch Analyse von Vertikalschnitten (z.B. “y = ax” für geeignete Konstanten a).

Kreuzen Sie die zutreffenden Felder an:

Der Punkt ist stationärer Punkt und zwar (falls JA): (falls NEIN): Punkte

(0, 0)  JA  SP MAX MIN ? Entfällt  1
(\frac{1}{8}, −\frac{1}{4}) JA NEIN ?  SP MAX MIN ? Entfällt  1  1
(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})  JA NEIN ?  SP MAX MIN ? Entfällt  1  1
(−\frac{1}{4}, \frac{1}{8}) JA NEIN ?  SP MAX MIN ? Entfällt  1  1
(−\frac{1}{4}, \frac{1}{4}) JA NEIN ?  SP MAX MIN ? Entfällt  1  1
(\frac{1}{4}, −\frac{1}{4}) JA NEIN ?  SP MAX MIN ? Entfällt  1  1
(0, \frac{1}{4})  JA NEIN ?  SP MAX MIN ? Entfällt  1  1

Hinweis zur Bewertung:

• Eine richtige Antwort ergibt die angegebene Punktzahl.

• Eine falsche Antwort ergibt entsprechend viele Minuspunkte.

• “gar nichts ankreuzen” ergibt ebenfalls Minuspunkte.

• “weiß nicht” ergibt jeweils 0 Punkte. Daher: Im Zweifelsfall “weiß nicht” ankreuzen.

AUSSERDEM: NEBENRECHNUNGEN BITTE AUF GESONDERTEM BLATT BEIFÜGEN!

Abgabe: bis 25.06.2004 13.00 Uhr Box 114, 117 (grün) auf D1-Flur Rückgabe: eine Woche später

in den Übungsgruppen